Lire f(x) comme une instruction
Si f(x) = 3x − 4, la notation f(5) demande de remplacer chaque x par 5 : f(5) = 15 − 4 = 11. Le symbole f n’est pas un nombre que l’on multiplie par une parenthèse. La même règle donne f(a + 2) = 3(a + 2) − 4 = 3a + 2. Les parenthèses évitent de n’appliquer la substitution qu’à une partie de l’expression.
Distinguez calculer une image et chercher un antécédent. Calculer f(5) part de l’entrée 5. Résoudre f(x) = 5 part de la sortie et impose 3x − 4 = 5, donc x = 3. Selon la fonction, une même sortie peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents. Pour f(x) = x², la sortie 9 correspond aux entrées −3 et 3, si le domaine contient les deux.
Contrôler le domaine avant de simplifier
Dans une expression réelle, le dénominateur ne peut pas être nul et le contenu d’une racine carrée doit être positif ou nul. Pour f(x) = √(5 − x)/(x + 1), il faut simultanément x ≤ 5 et x ≠ −1. Vérifier une seule de ces deux contraintes donne un domaine trop large.
L’expression (x² − 1)/(x − 1) est égale à x + 1 lorsque x ≠ 1. La simplification ne rend pas l’expression initiale définie en 1. Gardez cette exclusion si la question utilise la fonction de départ. Une valeur qui annule un facteur simplifié reste interdite.
Une règle par morceaux demande de choisir la branche avant de calculer. Si h(x) = x + 4 pour x < 2 et h(x) = 3x pour x ≥ 2, alors h(1) = 5 et h(2) = 6. Le signe ≥ attribue la frontière 2 à la seconde branche. Il n’y a aucune raison de moyenner les deux formules.
Composer deux fonctions
Dans f(g(x)), calculez d’abord g(x), puis utilisez son résultat comme entrée de f. Avec f(x) = 2x − 3 et g(x) = x², on obtient f(g(x)) = 2x² − 3, tandis que g(f(x)) = (2x − 3)². L’ordre compte : pour x = 2, ces résultats valent respectivement 5 et 1.
Une composition n’est pas un produit. f(x)g(x) signifie multiplier les deux images ; f(g(x)) signifie substituer une expression dans l’autre. Écrivez une ligne intermédiaire quand la notation devient longue. Si des domaines sont précisés, la sortie de la première fonction doit appartenir au domaine de la seconde.
Suites explicites et récurrences
Une formule explicite donne directement le terme demandé. La suite an = 4n − 1, pour n entier positif, commence par 3, 7, 11. La différence entre deux termes consécutifs vaut 4 : elle est arithmétique. En général, an = a1 + (n − 1)d. Le facteur n − 1 compte les déplacements depuis le premier terme.
Une suite géométrique multiplie chaque terme par une même raison r : an = a1rn−1. Si le premier terme vaut 3 et la raison 2, le quatrième vaut 3 × 2³ = 24. Une règle de récurrence, par exemple u1 = 2 et un+1 = 2un + 1, oblige en revanche à construire les termes nécessaires : 2, 5, 11, 23.
Une liste de quelques nombres ne détermine pas à elle seule une règle unique. Au GRE, utilisez la définition donnée et les contraintes de l’énoncé ; n’imposez pas une progression arithmétique parce que les premiers termes semblent la suggérer.
Cinq exercices originaux corrigés
Ces exercices sont des créations pédagogiques GRE Étoile, sans reproduction de questions ETS.
1. Une entrée qui contient une variable
Si f(x) = x² − 2x, exprimer f(t + 1) en fonction de t.
Correction
Remplacer x partout : (t + 1)² − 2(t + 1) = t² + 2t + 1 − 2t − 2 = t² − 1. Écrire seulement t² + 1 ignorerait les termes croisés et la seconde partie de la règle.
2. Retrouver les entrées possibles
Pour g(x) = (x − 2)², résoudre g(x) = 9 sur les réels.
Correction
x − 2 vaut 3 ou −3. Les solutions sont donc x = 5 et x = −1. Une racine carrée utilisée pour résoudre une équation au carré doit faire apparaître les deux signes.
3. Le domaine d’une expression
Pour quelles valeurs réelles x l’expression √(x + 2)/(x − 3) est-elle définie ?
Correction
Il faut x + 2 ≥ 0 et x − 3 ≠ 0. Le domaine est [−2 ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[. La valeur −2 est admise : une racine carrée peut être nulle.
4. Trouver l’indice
Une suite arithmétique commence à 7 et augmente de 3 à chaque terme. À quel indice trouve-t-on 52, en numérotant le premier terme 1 ?
Correction
7 + 3(n − 1) = 52 donne n − 1 = 15, donc n = 16. Il y a quinze intervalles entre les premier et seizième termes.
5. Appliquer une récurrence
u1 = 4 et un+1 = 3un − 2. Calculer u3.
Correction
u2 = 3 × 4 − 2 = 10, puis u3 = 3 × 10 − 2 = 28. Appliquer deux fois la règle évite de confondre l’indice 3 avec une entrée dans une formule explicite.
Comment réviser ce chapitre
Lors d’une erreur, notez si elle vient de la substitution, du domaine, de l’ordre de composition ou de l’indice. Refaire cinq calculs numériques ne corrige pas forcément une confusion de notation. Reprenez ensuite le même type de question avec une entrée négative, une frontière de domaine ou un indice différent pour vérifier la compréhension.
Sources et règles de l’examen
Les règles de l’examen se vérifient auprès d’ETS. Les méthodes de travail et les exercices de ce guide sont proposés par GRE Étoile.
- GRE General Test Quantitative Reasoning Overview — consulté le 27 octobre 2026
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