Moyenne, médiane et mode
La moyenne d’une série est la somme des valeurs divisée par leur nombre. Pour 2, 4, 4, 6 et 14, elle vaut 30/5 = 6. La médiane est la valeur centrale de la série triée : ici 4. Le mode est la valeur la plus fréquente : ici 4 également. La valeur 14 tire la moyenne vers le haut sans déplacer autant la médiane.
Avec un effectif pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales de la série ordonnée. Pour 1, 3, 8 et 10, elle vaut (3 + 8)/2 = 5,5. Elle ne figure donc pas forcément dans la série. Une série peut avoir plusieurs modes ou ne pas avoir de mode unique ; ne forcez pas une réponse unique si les fréquences ne le permettent pas.
Fréquences et moyennes pondérées
Un tableau d’effectifs représente des répétitions. Si 3 personnes obtiennent 10 et 7 personnes obtiennent 20, la somme vaut 3 × 10 + 7 × 20 = 170 et l’effectif total 10. La moyenne est 17, pas 15. La même méthode s’applique aux notes coefficientées et à la réunion de groupes.
Pour fusionner deux groupes dont on connaît les moyennes, reconstituez les sommes. Vingt observations de moyenne 12 et trente de moyenne 17 donnent (20 × 12 + 30 × 17)/50 = 15. La moyenne finale doit être comprise entre 12 et 17. Elle est plus proche de 17, car le second groupe est plus nombreux.
La vitesse moyenne exige également de choisir la bonne base. Sur deux trajets de même distance, les temps diffèrent si les vitesses diffèrent. Pour 60 km à 30 km/h puis 60 km à 60 km/h, le temps total vaut 3 heures et la vitesse moyenne 120/3 = 40 km/h. La moyenne simple 45 km/h conviendrait à deux durées égales, pas à ces deux distances.
Étendue, quartiles et écart-type
L’étendue est maximum − minimum ; elle ne décrit pas la répartition des valeurs intermédiaires. Les quartiles situent des positions dans une série ordonnée. L’écart interquartile vaut Q3 − Q1. Lorsque l’énoncé donne les quartiles ou une boîte à moustaches, lisez-les directement. Pour une petite série à calculer, vérifiez la convention fournie : plusieurs méthodes de quartiles existent et peuvent donner des résultats légèrement différents.
L’écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne. Pour une série traitée comme la population des N observations décrites, calculez la moyenne, les écarts à cette moyenne, leurs carrés, la moyenne de ces carrés, puis sa racine carrée. Pour 2, 2, 6, 6, la moyenne est 4, les carrés des écarts valent tous 4 et l’écart-type vaut 2. Une formule d’estimation d’échantillon utilisant N − 1 répond à un autre cadre ; ne la substituez pas sans indication.
Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des dispersions différentes. Les séries 4, 4, 4 et 0, 4, 8 ont toutes deux une moyenne de 4 ; seule la première a un écart-type nul. Un écart-type est toujours positif ou nul et n’est nul que lorsque toutes les valeurs sont égales.
Transformer toutes les valeurs
Ajouter une constante c à chaque valeur augmente la moyenne et la médiane de c, sans changer l’étendue ni l’écart-type. Multiplier chaque valeur par k multiplie la moyenne par k et l’écart-type par |k|. Pour une transformation y = 3x + 5, une moyenne initiale de 10 devient 35 et un écart-type initial de 2 devient 6.
Ajouter une seule nouvelle observation est différent. Si elle égale la moyenne actuelle, la nouvelle moyenne reste identique ; si elle lui est supérieure, la moyenne augmente. La médiane, elle, dépend des positions après insertion. Il n’existe pas de règle qui fasse varier tous les indicateurs de la même manière.
Cinq exercices originaux corrigés
Cette série est originale et ne reproduit pas de questions officielles ETS.
1. Retrouver une valeur manquante
Cinq nombres ont une moyenne de 18. Quatre d’entre eux sont 12, 16, 20 et 22. Quel est le cinquième ?
Correction
La somme totale vaut 5 × 18 = 90. La somme connue vaut 70. Le nombre manquant est 20. Reconstituer le total évite de travailler sur des moyennes partielles incompatibles.
2. Une médiane avec des effectifs
Une série contient deux fois 3, trois fois 5 et une fois 11. Quelle est sa médiane ?
Correction
La liste ordonnée est 3, 3, 5, 5, 5, 11. Les troisième et quatrième valeurs sont 5. La médiane est 5, même si le tableau ne comporte que trois lignes de valeurs distinctes.
3. Fusionner deux groupes
Un groupe de 8 candidats a une moyenne de 15 ; un groupe de 12 a une moyenne de 20. Quelle est la moyenne globale ?
Correction
La somme vaut 8 × 15 + 12 × 20 = 360 pour 20 candidats. La moyenne est 18. Le groupe de moyenne 20 pèse 60 % du total.
4. Changer d’unité
Une série a pour moyenne 7 et pour écart-type 3. On remplace chaque valeur x par 4x − 2. Donner les deux nouveaux indicateurs.
Correction
La moyenne devient 4 × 7 − 2 = 26. L’écart-type devient |4| × 3 = 12. Le décalage de −2 ne modifie pas les distances entre les observations.
5. Ajouter une observation centrale
Les valeurs 2, 4 et 6 ont une moyenne de 4. On ajoute une valeur 4. La moyenne et l’étendue changent-elles ?
Correction
La nouvelle somme vaut 16 pour quatre valeurs, donc la moyenne reste 4. Les extrêmes restent 2 et 6 : l’étendue reste 4. Cela ne signifie pas que tous les autres indicateurs de dispersion restent identiques.
Lire les mots avant de calculer
Repérez average ou arithmetic mean, median, mode, range et standard deviation. Si une question demande ce qui doit être vrai, cherchez des séries contrastées qui respectent les mêmes données de départ. Une moyenne imposée ne détermine ni la médiane, ni les extrêmes, ni l’écart-type à elle seule.
Sources et règles de l’examen
Les règles de l’examen se vérifient auprès d’ETS. Les méthodes de travail et les exercices de ce guide sont proposés par GRE Étoile.
- GRE General Test Quantitative Reasoning Overview — consulté le 27 octobre 2026
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