Définir l’univers et l’équiprobabilité
Une probabilité est comprise entre 0 et 1. Lorsque tous les résultats élémentaires sont équiprobables, P(A) = nombre de résultats favorables / nombre de résultats possibles. Pour un dé équilibré à six faces, la probabilité d’obtenir un nombre premier vaut 3/6 = 1/2 : les faces favorables sont 2, 3 et 5. Le nombre 1 n’est pas premier.
Compter les catégories ne suffit pas si elles n’ont pas le même poids. Une urne contient deux boules rouges et huit bleues. Il existe deux couleurs, mais la probabilité de rouge est 2/10, pas 1/2, si chaque boule a la même probabilité d’être tirée. L’unité du tirage est la boule.
Complément et réunion d’événements
Le complément de A signifie « A ne se produit pas » : P(non A) = 1 − P(A). Pour trouver la probabilité d’obtenir au moins un succès, il est souvent plus simple de soustraire la probabilité de n’obtenir aucun succès. « Au moins un » inclut un, deux et davantage ; « exactement un » impose de compter séparément les configurations correspondantes.
Pour deux événements, P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B). L’intersection est soustraite car elle a été comptée deux fois. Avec un dé, A = « résultat pair » et B = « résultat supérieur à 4 » ont pour intersection la face 6. La probabilité de la réunion est 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6.
Des événements incompatibles ne peuvent pas arriver ensemble ; leur intersection est vide. Des événements indépendants peuvent arriver ensemble et vérifient P(A et B) = P(A)P(B). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont pas indépendants : savoir que l’un s’est produit exclut l’autre.
Conditionnement et tirages successifs
« Sachant que B » restreint l’univers à B. Si P(B) est non nulle, P(A sachant B) = P(A et B)/P(B). Dans un groupe de 40 personnes dont 10 parlent espagnol et 6 parlent à la fois espagnol et allemand, la probabilité de parler allemand parmi les hispanophones est 6/10. Le dénominateur n’est plus 40.
Pour deux étapes, P(A puis B) = P(A) × P(B sachant A). Avec remise et des tirages effectués indépendamment, la composition de l’urne est rétablie et les probabilités restent identiques. Sans remise, le total diminue, et le nombre d’objets favorables peut diminuer aussi. Dessinez un arbre avec les probabilités conditionnelles de chaque branche si les cas deviennent difficiles à suivre.
Variables aléatoires et loi normale
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque résultat. Pour une distribution discrète, l’espérance est la somme des valeurs multipliées par leurs probabilités. Si un jeu rapporte 0 avec probabilité 1/2, 2 avec probabilité 1/3 et 6 avec probabilité 1/6, son espérance est 0 + 2/3 + 1 = 5/3. L’espérance n’est pas nécessairement une valeur que l’on peut observer sur un seul essai.
ETS inclut les distributions normales dans le programme quantitatif. Une loi normale est symétrique autour de sa moyenne ; la moyenne et l’écart-type déterminent sa position et sa dispersion. La valeur standardisée z = (x − moyenne)/écart-type indique la distance à la moyenne en unités d’écart-type. Ne transformez pas une série quelconque en loi normale parce qu’on vous donne sa moyenne : l’hypothèse de distribution doit être établie par l’énoncé.
Cinq exercices originaux corrigés
Ces problèmes ont été créés pour l’entraînement et ne sont pas issus d’un examen ETS.
1. Au moins une face six
On lance deux fois, de manière indépendante, un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 6 ?
Correction
La probabilité de ne pas obtenir 6 à un lancer vaut 5/6. Aux deux lancers, elle vaut (5/6)² = 25/36. Le complément donne 11/36. Additionner 1/6 + 1/6 compterait deux fois le cas où les deux lancers donnent 6.
2. Deux boules sans remise
Une urne contient 4 boules vertes et 6 noires. On tire deux boules successivement sans remise. Quelle est la probabilité qu’elles soient toutes deux vertes ?
Correction
La première probabilité est 4/10. Après une première verte, il reste 3 vertes parmi 9 boules. Le produit vaut (4/10)(3/9) = 2/15. Le second facteur n’est pas 4/10.
3. Un univers restreint
Parmi 60 étudiants, 24 étudient l’économie et 9 de ces 24 étudient aussi les mathématiques. On choisit uniformément un étudiant parmi ceux qui étudient l’économie. Quelle est la probabilité qu’il étudie les mathématiques ?
Correction
Le choix est limité aux 24 étudiants d’économie. Neuf satisfont la seconde condition : 9/24 = 3/8. Le quotient 9/60 correspondrait à un choix parmi tous les étudiants.
4. Une réunion avec chevauchement
Sur 100 personnes, 45 possèdent un vélo, 30 une voiture et 12 les deux. Quelle proportion possède au moins l’un des deux ?
Correction
L’effectif de la réunion est 45 + 30 − 12 = 63. La proportion est 63 %. Les 12 propriétaires des deux moyens de transport doivent être comptés une seule fois.
5. Espérance d’un résultat
Une variable X prend 1, 3 ou 5 avec les probabilités respectives 1/2, 1/4 et 1/4. Calculer son espérance.
Correction
Les probabilités totalisent bien 1. E(X) = 1/2 + 3/4 + 5/4 = 5/2. La moyenne simple des trois valeurs, 3, ignorerait leurs poids différents.
Contrôler une réponse
Vérifiez les bornes 0 et 1, le dénominateur après conditionnement et les effectifs après un tirage. Une probabilité d’intersection ne peut pas dépasser celle de chacun de ses événements. Pour de petits univers, énumérer les résultats fournit un contrôle indépendant ; cela permet aussi de vérifier qu’une formule de dénombrement correspond au problème.
Sources et règles de l’examen
Les règles de l’examen se vérifient auprès d’ETS. Les méthodes de travail et les exercices de ce guide sont proposés par GRE Étoile.
- GRE General Test Quantitative Reasoning Overview — consulté le 27 octobre 2026
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