Choix successifs : le principe multiplicatif
Si une première décision offre a possibilités et que chacune permet ensuite b possibilités, il existe a × b résultats complets. Pour composer une tenue avec 4 chemises et 3 pantalons, on obtient 12 associations. L’argument ne repose pas sur le mot « indépendant » au sens probabiliste : on compte des choix disponibles à chaque étape.
Les choix suivants peuvent devenir moins nombreux. Pour attribuer trois postes distincts à trois personnes différentes parmi 8, il y a 8 possibilités pour le premier, 7 pour le deuxième et 6 pour le troisième, soit 336. Les fonctions étant distinctes, échanger deux personnes produit une autre attribution.
Définissez précisément la première position. Un code à quatre chiffres peut commencer par 0 si le règlement l’autorise ; un entier positif à quatre chiffres ne le peut pas. Avec répétition autorisée, il y a 10⁴ codes mais seulement 9 × 10³ entiers positifs de quatre chiffres. La différence vient exclusivement du premier choix.
Permutations et combinaisons
La factorielle n!, pour n entier positif, est le produit n × (n − 1) × … × 1 ; par convention 0! = 1. Ranger n objets distincts sur une ligne donne n! ordres. Choisir r objets distincts dans un ordre précis parmi n donne n!/(n − r)!.
Former un groupe de r personnes parmi n ne distingue pas les ordres internes. Chaque groupe a été compté r! fois par la formule précédente. On divise donc par r! : C(n,r) = n!/[r!(n − r)!]. Pour choisir 3 membres parmi 8, le résultat est (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 56. Annulez les facteurs avant de multiplier ; calculer 8! en entier est inutile ici.
La symétrie C(n,r) = C(n,n − r) traduit le fait que choisir les personnes incluses détermine aussi les personnes exclues. Choisir 7 personnes parmi 9 revient à choisir les 2 absentes. Cette lecture peut raccourcir le calcul et servir de vérification.
Contraintes : cas, complément et blocs
Pour « au moins un », comptez parfois tous les groupes puis retranchez ceux qui ne satisfont jamais la condition. Parmi 8 personnes dont Ada et Ben, le nombre de groupes de 3 contenant au moins l’un des deux vaut C(8,3) − C(6,3). Cette méthode inclut les groupes contenant les deux sans les compter deux fois.
Pour deux éléments obligatoirement côte à côte dans un rangement linéaire, traitez-les comme un bloc, puis comptez les ordres internes du bloc. Pour deux éléments interdits de voisinage, le complément peut être plus simple : total des rangements moins rangements avec voisinage. La méthode doit tenir compte de la distinction éventuelle des objets.
Lorsque certains objets sont identiques, les permutations correspondantes ne créent pas de nouvel arrangement. Pour les lettres du mot LEVEL, cinq positions contiennent deux L, deux E et un V : le nombre d’ordres distincts est 5!/(2!2!) = 30. Ne divisez pas par une factorielle pour des objets qui restent réellement distincts dans l’énoncé.
Passer du dénombrement à la probabilité
Le quotient favorables/possibles exige des résultats élémentaires équiprobables. Dans un tirage uniforme de groupes de trois personnes, les combinaisons conviennent aux deux nombres. Dans un tirage successif où l’ordre est conservé, les arrangements conviennent. Mélanger une combinaison au numérateur et un arrangement au dénominateur change artificiellement la probabilité.
Cinq exercices originaux corrigés
Ces problèmes ont été conçus pour ce chapitre ; ils ne reproduisent pas des questions ETS.
1. Un code sans répétition
Combien de codes de quatre chiffres distincts peut-on former avec 0 à 9, en autorisant 0 en première position ?
Correction
Les nombres de choix sont 10, puis 9, 8 et 7. Le produit vaut 5 040. L’ordre des chiffres compte et la première position n’exclut aucun chiffre.
2. Groupe ou fonctions distinctes
Parmi 7 personnes, combien de binômes peut-on former ? Combien d’attributions d’un poste de président et d’un poste de secrétaire à deux personnes différentes ?
Correction
Pour le binôme, C(7,2) = 7 × 6 / 2 = 21. Pour les fonctions distinctes, 7 × 6 = 42. Échanger les deux personnes ne change pas le binôme, mais change l’attribution des postes.
3. Au moins une personne nommée
Parmi 8 personnes dont Ada et Ben, combien de groupes de 3 contiennent au moins Ada ou Ben ?
Correction
Il existe C(8,3) = 56 groupes au total. Ceux qui excluent les deux sont C(6,3) = 20. Le résultat est 36. Additionner les groupes avec Ada aux groupes avec Ben compterait deux fois ceux qui contiennent les deux.
4. Deux personnes voisines
Cinq personnes distinctes s’alignent. Ada et Ben doivent être côte à côte. Combien d’ordres sont possibles ?
Correction
Le bloc Ada–Ben et les trois autres personnes forment quatre objets : 4! = 24 rangements. Le bloc a deux ordres internes. Le total vaut 24 × 2 = 48. Cette réponse concerne une ligne, pas une table ronde.
5. Une probabilité à vérifier par deux modèles
On choisit uniformément deux personnes parmi 5 femmes et 3 hommes. Quelle est la probabilité de choisir deux femmes ?
Correction
Par groupes : C(5,2)/C(8,2) = 10/28 = 5/14. Par tirages successifs sans remise : (5/8)(4/7) = 20/56 = 5/14. Les deux méthodes décrivent le même événement avec des univers cohérents.
Vérifier le modèle sur un petit cas
Si vous hésitez entre permutation et combinaison, remplacez provisoirement les données par trois lettres et choisissez-en deux. Les listes AB, AC et BC décrivent trois groupes ; AB, BA, AC, CA, BC et CB décrivent six ordres. Cette énumération révèle ce que la formule doit compter avant de travailler avec de grands nombres.
Sources et règles de l’examen
Les règles de l’examen se vérifient auprès d’ETS. Les méthodes de travail et les exercices de ce guide sont proposés par GRE Étoile.
- GRE General Test Quantitative Reasoning Overview — consulté le 27 octobre 2026
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