Entiers, parité et nombres premiers
Les entiers comprennent les nombres négatifs, zéro et les nombres positifs sans partie décimale. Un entier pair est un multiple de 2 ; zéro est donc pair. Un entier impair s’écrit 2k + 1 pour un entier k. L’addition de deux nombres impairs donne un pair ; leur produit reste impair. Dès qu’un produit contient un facteur pair, le produit est pair.
Un nombre premier est un entier strictement supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Le nombre 1 n’est pas premier. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Pour tester si un entier positif est premier, il suffit de chercher un diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée : si deux facteurs étaient tous deux plus grands que cette racine, leur produit serait trop grand.
Décomposer pour organiser le raisonnement
La décomposition de 72 est 72 = 2³ × 3². Elle indique immédiatement que 72 est divisible par 8 et par 9, mais pas par 16. Tout diviseur positif de 72 prend la forme 2ᵃ × 3ᵇ, avec a dans {0, 1, 2, 3} et b dans {0, 1, 2}. Il y en a donc 4 × 3 = 12.
Plus généralement, si n = pᵃqᵇ, où p et q sont deux nombres premiers différents et a, b des entiers positifs, le nombre de diviseurs positifs est (a + 1)(b + 1). Chaque exposant peut être choisi indépendamment entre zéro et son maximum. La même logique s’étend à davantage de facteurs premiers.
Un entier positif est un carré parfait exactement lorsque tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs. Par exemple, 72 n’est pas un carré, mais 72 × 2 = 144 = 2⁴ × 3² en est un. Ajouter un facteur 3 donnerait 216 = 2³ × 3³, qui n’est toujours pas un carré.
PGCD et plus petit multiple commun
Pour deux entiers strictement positifs, le plus grand commun diviseur conserve les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants. Le plus petit commun multiple prend chaque facteur présent dans l’un des deux nombres avec le plus grand exposant.
Avec 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3, on obtient PGCD(18, 24) = 2 × 3 = 6 et PPCM(18, 24) = 2³ × 3² = 72. Le PGCD aide à former des groupes identiques sans reste. Le PPCM intervient, par exemple, lorsque deux cycles doivent coïncider à nouveau.
Écrire une division avec reste
Pour un entier n et un diviseur entier d > 0, écrivez n = dq + r, avec un quotient entier q et un reste r tel que 0 ≤ r < d. Si n laisse un reste de 3 dans la division par 7, alors n = 7q + 3. Le nombre 4n vaut 28q + 12, donc laisse un reste de 5 dans la division par 7.
Le reste n’est jamais égal au diviseur. Un reste de 7 dans une division par 7 doit être remplacé par 0, en augmentant le quotient. Avec les entiers négatifs, gardez la même définition : −1 = 5 × (−1) + 4, donc le reste de −1 dans la division euclidienne par 5 est 4.
Utiliser la structure des nombres consécutifs
Parmi deux entiers consécutifs, l’un est pair : leur produit est divisible par 2. Parmi trois entiers consécutifs, l’un est multiple de 3, et au moins l’un est pair : le produit des trois est divisible par 6. Cette propriété ne signifie pas que chacun des trois nombres est divisible par 6.
Ces raisonnements sont particulièrement utiles dans les comparaisons quantitatives. Avant de choisir des valeurs, cherchez si le caractère entier impose déjà une divisibilité, une différence minimale ou un nombre limité de cas.
Six exercices originaux corrigés
Les questions suivantes sont des créations pédagogiques, indépendantes des questions officielles d’ETS.
1. Compter les diviseurs
Combien le nombre 180 possède-t-il de diviseurs positifs ?
Correction
180 = 2² × 3² × 5. Le nombre de choix d’exposants est (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3 × 3 × 2 = 18. On compte ici 1 et 180 parmi les diviseurs.
2. Compléter un carré
Quel est le plus petit entier strictement positif k tel que 108k soit un carré parfait ?
Correction
108 = 2² × 3³. L’exposant de 2 est déjà pair ; celui de 3 est impair. Multiplier par 3 donne 2² × 3⁴ = 324. Le plus petit k est donc 3.
3. Faire coïncider deux cycles
Deux signaux se déclenchent ensemble à l’instant initial, puis toutes les 18 et 24 secondes. Après combien de secondes se déclenchent-ils de nouveau ensemble pour la première fois ?
Correction
Il faut le plus petit multiple positif commun à 18 et 24 : 72 secondes. Utiliser le PGCD donnerait un intervalle qui n’est multiple d’aucune des deux périodes.
4. Transformer un reste
Un entier n laisse un reste de 4 dans la division par 9. Quel reste laisse 3n + 2 dans la division par 9 ?
Correction
n = 9q + 4, donc 3n + 2 = 27q + 14 = 9(3q + 1) + 5. Le reste est 5.
5. Résoudre une condition de parité
Si m et n sont impairs, quelle est la parité de mn + m + n ?
Correction
mn est impair. La somme de mn et m est paire, puis ajouter n, impair, donne un nombre impair. Trois termes impairs ont une somme impaire.
6. Un nombre premier particulier
Le nombre premier p est tel que p + 1 est aussi premier. Quelle est la valeur de p ?
Correction
Si p était un premier impair, p + 1 serait un nombre pair supérieur à 2, donc non premier. Le seul cas possible est p = 2, qui donne p + 1 = 3.
Comment travailler ces notions
En correction, séparez les erreurs de définition des erreurs de calcul. Oublier que 1 n’est pas premier appelle une révision des conventions. Confondre PGCD et PPCM appelle une relecture de la situation. Pour les restes, remplacez les essais dispersés par l’écriture n = dq + r, puis vérifiez que le reste final se trouve bien entre 0 et d − 1.
Sources et règles de l’examen
Les règles de l’examen se vérifient auprès d’ETS. Les méthodes de travail et les exercices de ce guide sont proposés par GRE Étoile.
- GRE General Test Quantitative Reasoning Overview — consulté le 27 octobre 2026
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