Points, axes et déplacements
Un point P(a ; b) a pour abscisse a et pour ordonnée b. Le point (0 ; 4) est sur l’axe vertical ; le point (4 ; 0) sur l’axe horizontal. Inverser les deux nombres change généralement le point. Un déplacement de (−2 ; 5) à (3 ; 1) correspond à +5 horizontalement et −4 verticalement.
Dans un repère usuel à axes perpendiculaires et même unité de longueur, la distance entre A(x1 ; y1) et B(x2 ; y2) vaut √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)²]. Il s’agit de Pythagore appliqué aux déplacements horizontal et vertical. Le milieu a pour coordonnées les moyennes des abscisses et des ordonnées.
Pente et équation d’une droite
Pour deux points d’abscisses distinctes, la pente m vaut (y2 − y1)/(x2 − x1). Conservez le même ordre dans les deux soustractions. Avec A(−1 ; 2) et B(3 ; 10), la pente est (10 − 2)/(3 − (−1)) = 8/4 = 2. Inverser l’ordre des deux soustractions donne encore 2 ; n’en inverser qu’une donne le mauvais signe.
Une droite non verticale s’écrit y = mx + b, où b est l’ordonnée à l’origine. Pour retrouver b, remplacez x et y par les coordonnées d’un point connu. La droite de pente 2 passant par (3 ; 10) vérifie 10 = 6 + b : son équation est y = 2x + 4.
Une droite verticale a une équation x = a et une pente non définie. Une droite horizontale y = b a une pente nulle. Pour deux droites non verticales, des pentes égales indiquent un parallélisme ou une même droite ; vérifiez les ordonnées à l’origine pour les distinguer. Deux droites perpendiculaires non verticales ont des pentes dont le produit vaut −1. Le couple verticale/horizontale se traite séparément.
Intersections et coordonnées à l’origine
Pour trouver l’intersection de y = 2x + 4 et y = −x + 1, égalisez les deux expressions : 2x + 4 = −x + 1, donc x = −1, puis y = 2. Vérifier le point dans les deux équations détecte une erreur de signe.
L’intersection avec l’axe horizontal correspond à y = 0 ; l’intersection avec l’axe vertical à x = 0. Pour 2x + 3y = 12, on obtient respectivement (6 ; 0) et (0 ; 4). Le triangle formé avec l’origine a pour aire 6 × 4 / 2 = 12. Les coordonnées deviennent ici des longueurs parce que les deux segments se trouvent sur les axes perpendiculaires.
Lire une inégalité dans le plan
Une inégalité comme y > 2x − 1 désigne les points situés au-dessus de la droite frontière. Pour déterminer le côté sans vous fier au dessin, testez un point qui n’est pas sur la droite : l’origine vérifie 0 > −1, donc elle appartient à la région. Le signe strict exclut les points de la frontière ; ≥ les inclurait.
Une région soumise à plusieurs conditions est leur intersection. Le point doit les vérifier toutes, et pas seulement l’une d’elles. Sur un graphique, regardez les graduations des deux axes : un centimètre horizontal ne représente pas toujours la même valeur numérique qu’un centimètre vertical. Utilisez les coordonnées annoncées pour calculer une pente.
Cinq exercices originaux corrigés
Ces exercices sont rédigés pour l’entraînement GRE Étoile et ne proviennent pas d’ETS.
1. Une pente négative
Quelle est la pente de la droite passant par (−2 ; 7) et (4 ; −5) ?
Correction
La variation verticale vaut −5 − 7 = −12, la variation horizontale 4 − (−2) = 6. La pente vaut −2. Le signe négatif traduit une ordonnée qui diminue quand l’abscisse augmente.
2. Une distance et un milieu
Pour A(−3 ; 1) et B(3 ; 9), trouver la distance AB et le milieu de [AB].
Correction
Les écarts sont 6 et 8, donc AB = √(36 + 64) = 10. Le milieu est ((−3 + 3)/2 ; (1 + 9)/2) = (0 ; 5). Le milieu ne s’obtient pas en divisant les écarts par deux sans revenir au point de départ.
3. Une droite perpendiculaire
Une droite est perpendiculaire à y = 4x + 2 et passe par (8 ; 1). Quelle est son équation ?
Correction
Sa pente est −1/4. En remplaçant le point : 1 = −8/4 + b, donc b = 3. L’équation est y = −x/4 + 3. Le produit 4 × (−1/4) vaut bien −1.
4. Résoudre une intersection
Trouver l’intersection de y = 3x − 2 et y = x + 6.
Correction
3x − 2 = x + 6 donne 2x = 8 puis x = 4. La seconde équation donne y = 10. Le point recherché est (4 ; 10) et satisfait aussi la première équation.
5. Tester deux contraintes
Les points A(2 ; 5) et B(1 ; 0) appartiennent-ils à la région y ≥ 2x et x + y < 8 ?
Correction
A vérifie 5 ≥ 4 et 2 + 5 < 8 : A appartient à la région. B vérifie la seconde condition, mais pas 0 ≥ 2 : B n’y appartient pas. Une seule condition fausse suffit à exclure le point.
Les erreurs à repérer pendant la révision
Étiquetez séparément une confusion entre x et y, une inversion dans la pente, une condition de perpendicularité mal appliquée et un oubli de frontière. Refaire un schéma propre aide pour les trois dernières. Après chaque résultat, testez un point ou une équation de départ plutôt que de relire seulement vos opérations.
Sources et règles de l’examen
Les règles de l’examen se vérifient auprès d’ETS. Les méthodes de travail et les exercices de ce guide sont proposés par GRE Étoile.
- GRE General Test Quantitative Reasoning Overview — consulté le 27 octobre 2026
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