Le changement de sens d’une inégalité
Ajouter la même quantité aux deux membres conserve le sens d’une inégalité. Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif le conserve également. Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif inverse le sens : de 2 < 5, on obtient −2 > −5.
Avec une variable, il faut donc connaître son signe avant de l’utiliser comme multiplicateur ou diviseur. Dans 1/x > 2, x est non nul. Si x est négatif, 1/x est négatif et ne peut pas dépasser 2. Si x est positif, on peut multiplier par x sans changer le sens : 1 > 2x. L’ensemble des solutions est 0 < x < 1/2.
Ce raisonnement par cas est plus sûr qu’une multiplication immédiate suivie d’un résultat incomplet. Le même contrôle s’applique lorsqu’un dénominateur est une expression telle que x − 3.
Lire les bornes et les intersections
Une borne stricte est exclue ; une borne large est incluse. La condition −2 < x ≤ 4 autorise 4, mais exclut −2. Lorsque plusieurs conditions doivent être vraies simultanément, prenez leur intersection. Si x > 1 et x ≤ 5, les valeurs autorisées sont celles de l’intervalle 1 < x ≤ 5.
Deux branches reliées par « ou » donnent une réunion. L’inégalité x² ≥ 9 équivaut à x ≤ −3 ou x ≥ 3. Répondre seulement x ≥ 3 oublie tous les nombres négatifs dont le carré est au moins 9.
La valeur absolue comme distance
La valeur absolue |x| est la distance entre x et zéro sur la droite réelle. Elle vaut x si x ≥ 0, et −x si x < 0. L’expression |x − a| représente la distance de x à a. Ainsi |x − 4| = 2 possède deux solutions : x = 2 et x = 6.
Pour r > 0, la condition |x − a| < r décrit les nombres situés à moins de r unités de a : a − r < x < a + r. La condition |x − a| > r décrit les nombres situés au-delà des deux bornes : x < a − r ou x > a + r. Pour une borne large, les points à distance exactement r sont inclus.
Si le membre de droite est négatif, prenez le temps d’interpréter la situation. Une distance ne peut pas être négative : |x| = −2 n’a aucune solution réelle, alors que |x| > −2 est vraie pour tout réel x.
Comparer des valeurs absolues
La comparaison |x − 2| et |x + 4| demande si x est plus proche de 2 ou de −4. Le milieu des deux points est −1. À gauche de −1, x est plus proche de −4 ; à droite, il est plus proche de 2. Au milieu, les distances sont égales.
Pour la somme |x| + |x − 4|, la distance parcourue de 0 à x puis de x à 4 est au moins 4. Elle vaut exactement 4 lorsque x se situe entre 0 et 4, bornes comprises. Tester uniquement une valeur à l’intérieur ne prouve pas cette propriété ; l’interprétation géométrique ou une étude des trois zones x < 0, 0 ≤ x ≤ 4 et x > 4 la démontre.
Six exercices originaux corrigés
Ces exercices GRE Étoile sont indépendants des questions officielles d’ETS.
1. Diviser par un nombre négatif
Résoudre −3x + 5 > 14.
Correction
On soustrait 5 : −3x > 9. En divisant par −3, on inverse le sens de l’inégalité : x < −3. La valeur −4 convient ; −2 ne convient pas.
2. Une distance à développer
Résoudre |2x − 3| < 5.
Correction
La condition équivaut à −5 < 2x − 3 < 5. On ajoute 3, puis on divise par 2 : −2 < 2x < 8, donc −1 < x < 4. Les bornes sont exclues parce que l’inégalité est stricte.
3. Un carré à comparer
Résoudre x² ≥ 9.
Correction
On cherche les nombres dont la distance à zéro est au moins 3. Les solutions sont x ≤ −3 ou x ≥ 3. La valeur zéro et les nombres compris strictement entre −3 et 3 sont exclus.
4. Deux distances égales
Résoudre |x − 2| = |x + 4|.
Correction
Le nombre x doit être à la même distance de 2 et de −4. Leur milieu est (2 − 4)/2 = −1. La solution est x = −1. Les deux distances valent alors 3.
5. Prendre les inverses dans un intervalle négatif
Si −2 < x < −1, entre quelles bornes se situe 1/x ?
Correction
Sur les nombres négatifs, la fonction inverse est décroissante. Les extrémités −2 et −1 correspondraient à −1/2 et −1. Elles sont exclues. On obtient −1 < 1/x < −1/2. La valeur x = −3/2 donne −2/3, qui appartient à cet intervalle.
6. Trouver un minimum
Quelle est la valeur minimale de |x| + |x − 4| pour x réel ?
Correction
La somme représente les distances de x à 0 et à 4. Elle ne peut pas être inférieure à la distance 4 entre ces deux points. Pour tout x de [0, 4], elle vaut x + (4 − x) = 4. Le minimum est donc 4, atteint sur tout cet intervalle.
Reconnaître ce qui a fait changer la réponse
Après une erreur, notez l’opération exacte où le raisonnement a cessé d’être valable : division par un signe inconnu, borne oubliée, branche négative supprimée ou valeur absolue remplacée par son contenu sans condition. Vérifiez le résultat avec un point intérieur et une borne, puis refaites la démonstration générale.
Dans une comparaison quantitative, une expression positive ou nulle ne suffit pas toujours à choisir la réponse « A est plus grande ». Si l’égalité est possible dans un cas et une inégalité dans un autre, la relation n’est pas déterminée de façon unique. C’est un bon point de jonction entre les inégalités et le format propre au GRE.
Sources et règles de l’examen
Les règles de l’examen se vérifient auprès d’ETS. Les méthodes de travail et les exercices de ce guide sont proposés par GRE Étoile.
- GRE General Test Quantitative Reasoning Overview — consulté le 27 octobre 2026
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