Ce que l’on peut déduire d’une figure
ETS précise que les figures géométriques ne sont pas nécessairement à l’échelle. Une droite représentée comme droite l’est, les points alignés conservent l’ordre indiqué et les positions relatives sont respectées. En revanche, un triangle qui semble isocèle ne l’est pas sans information correspondante. Les systèmes de coordonnées et les graphiques de données relèvent d’autres conventions : ETS les présente à l’échelle.
Transcrivez les marques et les données avant de chercher une formule : côtés égaux, angle droit, parallélisme, rayon, diamètre. Pour comparer deux quantités, demandez-vous si la figure autorise plusieurs configurations. Un dessin unique peut cacher une longueur variable, surtout si aucun angle ni rapport ne la fixe.
Triangles : longueurs, angles et aire
La somme des angles d’un triangle vaut 180°. Chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres. Si deux côtés mesurent 4 et 7, le troisième x vérifie 3 < x < 11. Les bornes ne sont pas admises : elles correspondraient à trois points alignés.
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse c vérifie c² = a² + b². Les triplets 3–4–5 et 5–12–13 permettent de calculer rapidement, y compris après multiplication commune des trois longueurs. Le théorème ne s’applique pas à un triangle quelconque simplement parce qu’il ressemble à un triangle rectangle.
Dans un triangle rectangle 45°–45°–90°, les côtés sont dans le rapport 1:1:√2. Dans un triangle 30°–60°–90°, ils sont dans le rapport 1:√3:2, en face de ces angles respectifs. L’aire d’un triangle vaut base × hauteur / 2. La hauteur est perpendiculaire à la base choisie ; elle n’est pas nécessairement un côté du triangle.
Cercles : distinguer rayon, longueur et aire
Pour un rayon r, le diamètre vaut 2r, la circonférence 2πr et l’aire πr². Un secteur d’angle central θ, mesuré en degrés, représente θ/360 du disque : son aire vaut (θ/360)πr² et la longueur de son arc vaut (θ/360)2πr. N’appliquez pas la formule d’aire à une question demandant une longueur.
Si un rectangle est inscrit dans un cercle, sa diagonale est un diamètre. Un carré inscrit de côté s a donc une diagonale s√2, qui donne le diamètre du cercle. Si le cercle est inscrit dans le carré, c’est au contraire son diamètre qui égale le côté du carré. Un schéma légendé permet de distinguer ces deux situations.
Quadrilatères, similitudes et solides
| Figure | Mesure | Condition à contrôler |
|---|---|---|
| Rectangle | Aire = longueur × largeur | Les côtés se rencontrent à angle droit |
| Parallélogramme | Aire = base × hauteur | La hauteur est perpendiculaire à la base |
| Trapèze | Aire = (b + B)h / 2 | b et B sont les côtés parallèles |
| Pavé droit | Volume = longueur × largeur × hauteur | Trois dimensions, dans la même unité |
| Cylindre droit | Volume = πr²h | r est le rayon, pas le diamètre |
Pour deux figures semblables, un rapport de longueurs k produit un rapport d’aires k². Pour des solides semblables, le rapport des volumes est k³. Un agrandissement par 3 multiplie donc les longueurs par 3, les aires par 9 et les volumes par 27. La similitude doit être donnée ou démontrée ; deux rectangles quelconques n’ont pas nécessairement la même forme.
Cinq exercices originaux corrigés
Les problèmes suivants ont été créés pour ce guide ; ils ne sont pas des questions officielles ETS.
1. Une hauteur qui n’est pas un côté
Un triangle rectangle a des côtés perpendiculaires de 5 et 12. Quelle est sa hauteur relative à l’hypoténuse ?
Correction
L’hypoténuse vaut √(25 + 144) = 13 et l’aire vaut 5 × 12 / 2 = 30. En prenant 13 comme base, 13h/2 = 30, donc h = 60/13. On calcule la même aire avec deux bases différentes.
2. Des longueurs entières possibles
Un triangle a deux côtés de 3 et 8. Combien de valeurs entières peut prendre la longueur du troisième côté ?
Correction
L’inégalité triangulaire donne 5 < x < 11. Les valeurs sont 6, 7, 8, 9 et 10 : cinq possibilités. Les valeurs 5 et 11 ne forment pas un triangle non aplati.
3. Un secteur de disque
Un disque de rayon 6 contient un secteur d’angle central 120°. Quelle est l’aire de ce secteur ?
Correction
Le secteur occupe 120/360 = 1/3 du disque. Son aire vaut (1/3) × π × 6² = 12π, en unités d’aire. La réponse 4π serait une longueur d’arc, pas une aire.
4. Passer d’un rapport d’aires à une longueur
Deux triangles semblables ont des aires dans le rapport 9:25. Le plus petit a un côté de 12. Quelle est la longueur du côté correspondant du plus grand ?
Correction
Le rapport des longueurs est √9:√25 = 3:5. Le côté recherché vaut 12 × 5/3 = 20. Utiliser directement 25/9 confondrait aire et longueur.
5. Le diamètre d’un cylindre
Un cylindre droit a un diamètre de 6 cm et une hauteur de 8 cm. Quel est son volume ?
Correction
Le rayon vaut 3 cm. Le volume est π × 3² × 8 = 72π cm³. Introduire le diamètre dans la formule donnerait un volume quatre fois trop grand.
Une démarche utilisable le jour du test
Identifiez la grandeur demandée et son unité, reportez les données sur un schéma, puis choisissez une relation qui utilise ces seules données. Conservez π et les racines sous forme exacte tant qu’aucun arrondi n’est demandé. Si plusieurs figures satisfont les conditions avec des résultats différents, la quantité n’est pas déterminée : il faut le reconnaître, particulièrement en comparaison quantitative.
Sources et règles de l’examen
Les règles de l’examen se vérifient auprès d’ETS. Les méthodes de travail et les exercices de ce guide sont proposés par GRE Étoile.
- GRE General Test Quantitative Reasoning Overview — consulté le 27 octobre 2026
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