Calculer avec des fractions sans perdre la structure
Une fraction représente un quotient ; son dénominateur doit être non nul. Pour additionner deux fractions, utilisez un dénominateur commun. Pour les multiplier, multipliez les numérateurs et les dénominateurs, après avoir simplifié les facteurs communs si cela facilite le travail. Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse.
Ainsi, 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. En revanche, 2/3 + 1/4 ne vaut pas 3/7. Avec (14/15) × (25/21), simplifiez avant de multiplier : 14/21 = 2/3 et 25/15 = 5/3. Le résultat est 10/9, sans produit à trois chiffres.
Une fraction négative demande la même précision sur les signes qu’un entier. Entre −2/3 et −3/4, le nombre le plus proche de zéro est le plus grand. En passant au dénominateur 12, on compare −8/12 et −9/12 : −2/3 est donc supérieur à −3/4.
Comparer avant de convertir en décimal
Lorsque les dénominateurs sont positifs, vous pouvez comparer a/b et c/d en comparant ad et bc. Si les dénominateurs ont des signes inconnus, déterminez ces signes avant toute multiplication d’inégalité. Une multiplication par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.
Pour comparer 7/12 et 4/7, les produits croisés sont 49 et 48 : 7/12 est légèrement supérieur. La différence exacte vaut 1/84. Des arrondis grossiers pourraient masquer cet écart. La calculatrice peut confirmer le résultat, mais elle ne remplace pas le contrôle des signes et des valeurs interdites.
Les règles de puissances et leurs limites
| Opération | Règle | Condition ou attention |
|---|---|---|
| Même base, produit | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Les deux puissances doivent être définies. |
| Même base, quotient | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0. |
| Puissance d’une puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Règle utilisée ici pour des exposants entiers. |
| Exposant négatif | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | a ≠ 0. |
| Exposant nul | a⁰ = 1 | a ≠ 0. |
Le signe dépend aussi des parenthèses. (−3)² = 9, alors que −3² = −9. Dans la seconde écriture, la puissance s’applique à 3, puis le signe moins est appliqué au résultat. Un exposant pair rend positive une base négative ; un exposant impair conserve son signe négatif.
Une puissance peut diminuer un nombre positif. Si 0 < a < 1, alors a² < a. Cette propriété intervient souvent dans les comparaisons quantitatives. Ne transposez pas à une fraction entre 0 et 1 l’intuition acquise avec les entiers 2, 3 ou 10.
Racines carrées : signe et domaine
Dans les nombres réels, √a est défini pour a ≥ 0 et désigne la racine carrée positive ou nulle. L’équation x² = 9 a deux solutions, mais √9 vaut 3. De même, √(x²) = |x| : pour x = −4, le résultat vaut 4 et non −4.
Pour a et b positifs ou nuls, √(ab) = √a × √b. Cette propriété concerne un produit, pas une somme. Par exemple, √(9 + 16) = 5, tandis que √9 + √16 = 7. Pour simplifier √72, repérez un carré parfait : √(36 × 2) = 6√2.
Cinq exercices originaux corrigés
Les exercices suivants sont créés pour l’entraînement ; ils ne constituent pas des questions officielles ETS.
1. Addition puis division
Calculer (3/4 + 2/3) ÷ (5/6).
Correction
La somme vaut 9/12 + 8/12 = 17/12. Diviser par 5/6 revient à multiplier par 6/5 : (17/12) × (6/5) = 17/10. Vérification : 17/12 est environ 1,42 et 5/6 environ 0,83 ; le quotient, proche de 1,7, est cohérent.
2. Puissances de même base
Simplifier (2⁵ × 2⁻³) / 2.
Correction
Au numérateur, 2⁵ × 2⁻³ = 2² = 4. Puis 4/2 = 2. On peut aussi écrire 2⁵⁻³⁻¹ = 2¹.
3. La racine d’un carré
Si x = −7, calculer √(x²) + x.
Correction
√(x²) = |x| = 7. L’expression vaut 7 − 7 = 0. Remplacer √(x²) par x aurait donné une valeur négative erronée.
4. Une égalité à interpréter
Un réel positif t vérifie t³ = 1/8. Quelle est la valeur de t⁻² ?
Correction
t = 1/2, puisque (1/2)³ = 1/8. Alors t⁻² = 1/(1/2)² = 4. Le signe négatif de l’exposant indique un inverse ; il ne rend pas le résultat négatif.
5. Simplifier une racine
Calculer √50 + √8, sous une forme exacte.
Correction
√50 = 5√2 et √8 = 2√2. Leur somme vaut 7√2. Additionner les nombres sous les racines et répondre √58 ne respecte pas les règles de calcul.
Une révision qui mesure les automatismes
Préparez une courte série mêlant fractions négatives, puissances d’une fraction et racines de carrés. Résolvez-la d’abord sans calculatrice. Pour chaque erreur, écrivez la règle précise et sa condition : « inverse d’une fraction non nulle », « exposant pair sur toute la base » ou « racine carrée positive ». Refaire seulement les mêmes nombres peut masquer une règle encore fragile ; changez les valeurs et le signe lors de la nouvelle tentative.
Sources et règles de l’examen
Les règles de l’examen se vérifient auprès d’ETS. Les méthodes de travail et les exercices de ce guide sont proposés par GRE Étoile.
- GRE General Test Quantitative Reasoning Overview — consulté le 27 octobre 2026
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